مراجعة سريعة

القاعدة الذهبية: المعادلة خطية إذا تحققت الشروط الثلاثة معاً: أس كل متغير 1 ، ولا توجد دوال ملتصقة بالمتغير (مثل sin x )، ولا يوجد حاصل ضرب متغيرين. (Power 1, no functions of x, no x·y terms.)

القاعدة الذهبية: الجمع يحتاج التطابق التام في الشكل، والضرب يحتاج تطابق «الوسط»: أعمدة الأولى = صفوف الثانية. (Add needs same shape; multiply needs inner dimensions to match.)

القاعدة الذهبية: اجعل القائد (pivot) يساوي 1 ، ثم صفّر كل ما تحته، عموداً بعد عمود، من اليسار إلى اليمين. (Ones on the diagonal, zeros below — left to right.)

القاعدة الذهبية: كل قوانين الأعداد المدرسية تنتقل للمصفوفات إلا إبدال الضرب. قبل أن تبادل AB إلى BA توقف واسأل. (Everything transfers except AB = BA.)

القاعدة الذهبية: كل عمليات المتجهات الأساسية تتم عنصراً بعنصر — ما عدا عمليتين جديدتين: الضرب الداخلي (يُخرج رقماً) والطول (يُخرج مسافة). (Everything is entrywise — except dot product and length.)

القاعدة الذهبية: اختبار من ثلاثة أسطر: هل 0 موجود؟ هل u+v باقٍ؟ هل ku باقٍ؟ نعم ثلاث مرات ⟺ فضاء جزئي. (Zero in, plus closed, times closed — that is all.)

القاعدة الذهبية: التركيب الخطي = تضخيم ثم جمع. اكتب الأوزان أولاً دائماً: w = c₁v₁ + c₂v₂ ، فالسؤال «هل w تركيب؟» يعني «هل توجد أوزان؟». (Weights first: w = c₁v₁ + c₂v₂ asks “do weights exist?”)

القاعدة الذهبية: المولد سؤال «وصول»: w ∈ span{v₁,v₂} تعني «يوجد حل لمنظومة الأوزان». والاستقلال سؤال «هدر»: هل أحد المتجهات تركيب من البقية؟ (Span asks “reachable?” Independence asks “wasted?”)

القاعدة الذهبية: أساس = استقلال + توليد. والبعد يُقرأ من أي أساس: Rⁿ بعده n ، والخط عبر الأصل بعده 1 ، والنقطة وحدها بعدها 0 . (Count any basis — the number never changes.)

القاعدة الذهبية: المحدد يسأل ثلاثة أسئلة دفعة واحدة: هل يوجد نظير؟ هل الأعمدة مستقلة؟ هل المساحة غير مسطحة؟ وإذا كان المحدد صفراً فالأجوبة: لا نظير، وأعمدة مرتبطة، ومساحة صفر. (Zero determinant: no inverse, dependent columns, zero area.)

القاعدة الذهبية: الورق أولاً، اللوحة للتحقق فقط. من يتحقق قبل المحاولة يسرق من نفسه التدريب. (Paper first, panel second — no peeking.)