من صفحتك بخط اليد: A+B = B+A (إبدال الجمع)، A+(B+C) = (A+B)+C (دمج الجمع)، (cd)A = c(dA) (دمج الضرب القياسي)، IA = A حيث I مصفوفة الوحدة التي عناصر قطرها الرئيسي 1، ثم التوزيع c(A+B) = cA+cB و (c+d)A = cA+dA.
الإبدال كطريق ذي اتجاهين للجمع فقط — أما الضرب فطريق واحد: AB ≠ BA غالباً. الوحدة I كالدوار الذي يعيدك إلى نفس الشارع. Addition commutes, multiplication usually does not, I is the roundabout back to A.
القاعدة الذهبية: كل قوانين الأعداد المدرسية تنتقل للمصفوفات إلا إبدال الضرب. قبل أن تبادل AB إلى BA توقف واسأل. (Everything transfers except AB = BA.)
اختر قانوناً — اللوحة تولّد مصفوفتين وثوابت عشوائية وتحسب الطرفين أمامك. كرر الضغط: إن تطابقا دائماً فالقانون صامد.
اختر القانون ثم اضغط «تحقق بأرقام جديدة» عدة مرات
لا تختبر AB = BA هنا — ستجد مثالاً مضاداً بسرعة. جرّب A = [[1,2],[0,1]] و B = [[0,1],[1,0]] واحسب الطرفين. (One counterexample kills a false law.)
من دفترك: A + O = A (المحايد الجمعي)، A + (−A) = O (النظير الجمعي)، وإذا cA = O فإما c = 0 أو A = O. ومصفوفة تساوي الصفرية O تعني أن كل عناصرها أصفار: [[a,b],[c,d]] = O ⇒ a=b=c=d=0.
أدخل c ومصفوفة A — اللوحة تطبق قاعدة cA = 0 وتستنتج
موشن جرافيك بتعليق عربي: القوانين الستة وفخ إبدال الضرب
| المصطلح | ما يقوله الناس | الحقيقة |
|---|---|---|
| الإبدال | الترتيب لا يهم أبداً | للجمع فقط — الضرب له ترتيب |
| مصفوفة الوحدة I | مصفوفة الواحدات | واحدات على القطر الرئيسي فقط — محايد الضرب |
| الصفرية O | لا شيء | محايد الجمع + إذا cA = O فإما c = 0 أو A صفرية |
قبل هذا الدرس: تطبق القوانين بالتخمين. بعد هذا الدرس: تسرد الستة وتستثني إبدال الضرب، وتستنتج من cA = 0 كالمحقق.
| المصطلح العربي | English | معناه ببساطة |
|---|---|---|
| خاصية الإبدال | commutative | الترتيب حر — للجمع فقط هنا |
| خاصية التوزيع | distributive | الضرب القياسي يتوزع على الجمع |
| المصفوفة الصفرية | zero matrix O | كلها أصفار — محايد الجمع |