من دفترك: (1,5,−2) متجه في R³، و (1,5,−2,6) في R⁴، و (3,8) في R². التساوي عنصري: u = v ⟺ كل عنصر يساوي نظيره. والجمع والضرب القياسي والطرح كلها عنصرية: u+v = (u₁+v₁, u₂+v₂, …) و ku = (ku₁, ku₂, …).
عنوانك «شارع 3، مبنى 8» لا يعني شيئاً إن بدّلت الرقمين — (3,8) ليست (8,3). والانتقال من عنوان لآخر تجمع الفروق شارعاً بشارع. Order is the address; addition walks street by street.
القاعدة الذهبية: كل عمليات المتجهات الأساسية تتم عنصراً بعنصر — ما عدا عمليتين جديدتين: الضرب الداخلي (يُخرج رقماً) والطول (يُخرج مسافة). (Everything is entrywise — except dot product and length.)
من دفترك: الضرب الداخلي (inner product) هو ⟨u,v⟩ = u₁v₁ + u₂v₂ + …، والطول (length) هو ‖u‖ = √(u₁² + u₂² + …)، والمسافة (distance) هي d(u,v) = ‖u − v‖. حرّك المتجهين على اللوحة وشاهد الأرقام الثلاثة تتحرك.
حرّك المنزلقات — النقاط والأسهم والأرقام تتبعك لحظياً
القوانين من دفترك: u+v = v+u، و u·v = v·u، و (ku)·v = k(u·v)، و (u+v)·w = u·w + v·w. أهم ثمارها: متجهان متعامدان ⟺ ضربهما الداخلي صفر. جرّب: هل (3,1) و (−1,3) متعامدان؟ 3·(−1)+1·3 = 0 — نعم!
اضغط لتوليد زوج عشوائي — خمّن أولاً ثم اكشف
المتجه الصفري (0,0) طوله صفر وعمودي على الجميع — لكنه لا يصلح اتجاهاً ولا يُوحَّد (القسمة على صفر ممنوعة). (Zero vector: length 0, direction none.)
موشن جرافيك بتعليق عربي: الضرب الداخلي والطول والتعامد
| المصطلح | ما يقوله الناس | الحقيقة |
|---|---|---|
| الضرب الداخلي | ضرب متجهين | رقم واحد = مجموع حواصل العناصر — كاشف التعامد |
| الطول | حجم المتجه | جذر مجموع المربعات — امتداد فيثاغورس |
| المسافة | البعد بين نقطتين | طول الفرق: ‖u − v‖ |
قبل هذا الدرس: المتجه سهم غامض. بعد هذا الدرس: تحسب تشابه الاتجاهين برقم، وطول أي متجه، والمسافة بين أي نقطتين.
| المصطلح العربي | English | معناه ببساطة |
|---|---|---|
| الضرب الداخلي | inner product | رقم التشابه: اضرب المتناظر واجمع |
| الطول | length (norm) | مسافة المتجه عن الأصل |
| المسافة | distance | طول الفرق بين متجهين |