الفضاء الجزئي (subspace) مجموعة متجهات داخل Rⁿ تُشبه الفضاء الكامل: تحوي الصفر 0، ومغلقة تحت الجمع (مجموع أي عنصرين يبقى داخلها)، ومغلقة تحت الضرب القياسي (أي مضاعف يبقى داخلها). سقط شرط واحد = ليست فضاءً جزئياً.
النادي الحقيقي: المؤسس عضو (الصفر)، وصديقا العضوين عضوان (الجمع)، وضيوف العضو مرحب بهم (الضرب القياسي). نادٍ يطرد المؤسس أو يرفض الضيوف ليس نادياً. Founder in, friends of members in, guests in — or it is not a club.
القاعدة الذهبية: اختبار من ثلاثة أسطر: هل 0 موجود؟ هل u+v باقٍ؟ هل ku باقٍ؟ نعم ثلاث مرات ⟺ فضاء جزئي. (Zero in, plus closed, times closed — that is all.)
أربعة مشتبهين في R²: خط يمر بالأصل، خط لا يمر بالأصل، الربع الأول، والمحور السيني. اختر مشتبهاً — اللوحة ترسمه وتُجري الاختبارات الثلاثة وتُصدر الحكم.
اختر المجموعة ثم اضغط «أصدر الحكم»
أسرع اختبار في المقرر: إن لم تحوِ المجموعة الصفر فهي خارج المنافسة فوراً — لأن 0·u = 0 يجب أن يبقى داخل أي فضاء جزئي. الخط y = x + 1 لا يحوي (0,0)، إذن مرفوض في ثانية. والربع الأول يحوي الصفر لكنه يسقط في الضرب القياسي: (−1)·(1,1) = (−1,−1) خارجه.
حرّك k لتضرب المتجه (1,1) — هل تبقى النتيجة في الربع الأول؟
«يحوي الصفر» شرط لازم لا كافٍ: الربع الأول يحويه ويفشل. أكمل دائماً الشروط الثلاثة. (Zero is necessary, not sufficient.)
موشن جرافيك بتعليق عربي: الشروط الثلاثة والمشتبهون الأربعة
| المصطلح | ما يقوله الناس | الحقيقة |
|---|---|---|
| فضاء جزئي | جزء من الفضاء | جزء مغلق تحت الجمع والضرب القياسي ويحوي الصفر |
| الإغلاق | البقاء داخلاً | العملية على عناصر المجموعة لا تُخرجك منها |
| المثال المضاد | حالة شاذة | مثال واحد يكفي لإسقاط الادعاء |
قبل هذا الدرس: أي مجموعة تبدو فضاءً. بعد هذا الدرس: تحكم في ثلاث خطوات، وتبدأ بالصفر لتوفير الوقت.
| المصطلح العربي | English | معناه ببساطة |
|---|---|---|
| فضاء جزئي | subspace | فضاء صغير داخل الكبير بقواعد الإغلاق |
| مغلق تحت عملية | closed under | النتيجة لا تغادر المجموعة |
| الفضاء الصفري | zero subspace {0} | أصغر فضاء جزئي ممكن |