التركيب الخطي (linear combination) خلطة: نضرب كل متجه بوزن c₁v₁ + c₂v₂ + … + cₖvₖ ثم نجمع. الأوزان هي الوصفة، والمتجهات هي المكونات، والناتج هو الطبق. السؤال الذهبي القادم: أي أطباق يمكن طبخها من مكونات معينة؟
موزتان + كوب حليب + ملعقة عسل: الكميات أوزان والفواكه متجهات. غيّر الأوزان يتغير الطعم — وبعض الأطعمة مستحيلة مهما غيّرت الأوزان (لا تصنع بيتزا من فواكه). Weights in, flavour out — and some dishes are impossible.
القاعدة الذهبية: التركيب الخطي = تضخيم ثم جمع. اكتب الأوزان أولاً دائماً: w = c₁v₁ + c₂v₂، فالسؤال «هل w تركيب؟» يعني «هل توجد أوزان؟». (Weights first: w = c₁v₁ + c₂v₂ asks “do weights exist?”)
المتجهان v₁ = (2,0) و v₂ = (0,1) ثابتان. حرّك الوزنين c₁, c₂ وشاهد النقطة الناتجة w ترقص على الشبكة — كل نقطة تصلها هي تركيب خطي منهما.
حرّك الوزنين — النقطة الخضراء هي خلطتك
السؤال العكسي: هدف w = (5,3) ومكونات v₁ = (2,0) و v₂ = (1,1). ابحث عن الأوزان: c₂ = 3 من السطر الثاني، ثم 2c₁ + c₂ = 5 ⟹ c₁ = 1. تحقق: 1·(2,0) + 3·(1,1) = (5,3). كل سؤال «تركيب؟» هو منظومة خطية متنكرة!
أدخل هدفك — اللوحة تحل المنظومة وتتحقق
إن كان المتجهان على نفس الخط (مثل (1,1) و (2,2)) فالأهداف خارج الخط مستحيلة — سترى قسمة على صفر في الحل. هذا هو الاستقلال الخطي في الدرس القادم. (Parallel ingredients cannot leave their line.)
موشن جرافيك بتعليق عربي: الأوزان، وحل الهدف، وفخ التوازي
| المصطلح | ما يقوله الناس | الحقيقة |
|---|---|---|
| تركيب خطي | جمع متجهات | تضخيم بأوزان ثم جمع — الأوزان هي السؤال |
| الأوزان | أرقام مساعدة | مجهولات منظومة خطية تُحل وتُتحقق |
| القابلية للتركيب | إمكانية الوصول | وجود حل للمنظومة — لا سمات شكلية |
قبل هذا الدرس: متجهات متفرقة. بعد هذا الدرس: تخلط بأوزان، وتحسم «هل w تركيب؟» بحل منظومة 2×2.
| المصطلح العربي | English | معناه ببساطة |
|---|---|---|
| تركيب خطي | linear combination | خلطة موزونة من المتجهات |
| الأوزان | weights / coefficients | مقادير الخلطة — مجاهيل تُحل |