المولد (span) لمجموعة متجهات هو كل النتائج الممكنة من كل الأوزان الممكنة. مولد (1,0) وحده هو المحور السيني كله. ومولد (1,0) و (0,1) هو R² كله. السؤال: هل المجموعة «تولّد» هدفك؟ أي: هل الهدف تركيب منها؟
كل راوتر يغطي دائرة — والمولد هو اتحاد التغطيات لكل قوى الإشارة الممكنة. راوتران متوازيان لا يغطيان بيتاً من طابقين. Span is the total coverage at every power level.
القاعدة الذهبية: المولد سؤال «وصول»: w ∈ span{v₁,v₂} تعني «يوجد حل لمنظومة الأوزان». والاستقلال سؤال «هدر»: هل أحد المتجهات تركيب من البقية؟ (Span asks “reachable?” Independence asks “wasted?”)
لمتجهين في R² الاختبار فوري: متوازيان ⟺ مرتبطان خطياً (dependent)، وغير متوازيين ⟺ مستقلان (independent). والمحدد يحسم: det = 0 ⟺ مرتبطان. أدخل أي زوجين واحكم.
أدخل المتجهين — اللوحة تحسب المحدد وتصدر الحكم
التعريف الدقيق: المجموعة مرتبطة خطياً إذا وُجدت أوزان ليست كلها صفراً تحقق c₁v₁ + c₂v₂ = 0، ومستقلة إذا كان الحل الوحيد هو الأوزان الصفرية. مثال: (1,1) و (2,2) مرتبطان لأن 2·(1,1) − 1·(2,2) = 0 بأوزان غير صفرية. حرّك الأوزان وجرب إصابة الصفر بغير الصفرية.
المتجهان (1,1) و (2,2) — حرّك الأوزان وحاول بلوغ (0,0) دون تصفيرهما
أي مجموعة تحوي الصفري 0 مرتبطة تلقائياً (خذ وزنه 1 والبقية 0). وأي متجه منفرد غير صفري مستقل وحده. (Zero poisons independence; a lone nonzero vector is independent.)
موشن جرافيك بتعليق عربي: التغطية، والمحدد، ومعادلة الصفر
| المصطلح | ما يقوله الناس | الحقيقة |
|---|---|---|
| المولد span | مساحة المتجهات | كل التراكيب الممكنة — سؤال وصول |
| مستقل independent | متجهات مختلفة | لا حل غير صفري لمعادلة الصفر — لا هدر |
| مرتبط dependent | متجهات متشابهة | أحدها تركيب من البقية — هدر يُحذف |
قبل هذا الدرس: مجموعة متجهات بلا أحكام. بعد هذا الدرس: تحدد مولد أي زوج، وتحسم استقلاله بالمحدد أو بمعادلة الصفر.
| المصطلح العربي | English | معناه ببساطة |
|---|---|---|
| المولد | span | كل ما تصل إليه التراكيب |
| الاستقلال الخطي | linear independence | لا هدر: لا متجه زائد |
| الارتباط الخطي | linear dependence | هدر: أحدهم يُبنى من البقية |